Fable 5 推翻雅可比猜想：87 年数学难题被 AI 反例终结

1991 年，北大数学天才张益唐在普渡大学读博，导师莫宗坚让他做雅可比猜想。七年卡在同一个问题上，论文结论与导师此前的工作矛盾——莫宗坚不给他写推荐信，张益唐毕业后找不到学术工作，去赛百味端盘子、睡在车里，直到 2013 年才靠孪生素数一鸣惊人。张益唐大概是雅可比猜想最有名的受害者，但他绝不是唯一一个。这个从 1939 年悬而未决的数学难题，87 年来拖垮了无数数学家的学术生涯，被称为"民科坟场"——因为隔三差五就有人声称自己证明了它，每次都被打回原形。

直到 2026 年 7 月 19 日。

哈佛毕业生、数学家 Levent Alpöge 在 X 上随手发了一条推文："用 Fable 5 找到了雅可比猜想的一个反例。"配了一张多项式映射的截图，216 个字符，定义了从 C³ 到 C³ 的映射，雅可比行列式恒为 −2——但它不是单射。这就够了。87 年的猜想，被一个 AI 模型和一条推文终结了。

Hacker News 上最高赞评论说得直接："这条推文足够让一个人拿博士学位了。"

什么是雅可比猜想

雅可比猜想（Jacobian Conjecture）是代数几何中最著名的开放问题之一。1939 年由德国数学家 Ott-Heinrich Keller 提出，问题本身听起来很简单：

如果 F: Cⁿ → Cⁿ 是一个多项式映射，它的雅可比行列式是一个非零常数，那么 F 一定有全局多项式逆映射吗？

用大白话说：给你一组多项式方程，如果在每个点的变化率（雅可比矩阵的行列式）是一个非零常数，你能不能保证这套方程是"可逆的"——也就是说，一定能用另一套多项式把输入解出来？

直觉上这应该是对的。常值非零的雅可比行列式意味着映射处处局部可逆——局部可逆那全局也应该可逆吧？但数学从来不欠直觉账。几十年来，数学家们证明了它在各种特殊情况下的正确性，就是没人能证明它在一般情况下成立。

Fable 5 雅可比反例：仅 216 个字符

Alpöge 用 Claude Fable 5 找到的反例只有三组多项式：

• f = x - xz + yz + 2x²z + y²z - 2xz² - yz² - 4x²z² - 4xy²z² + 8xz³ - 2x²z³ - 2y²z³ + 5x²z⁴ + 5y²z⁴ - 2xz⁵ - x²z⁶ - y²z⁶ + x²z⁷ + y²z⁷
• g = y + yz - 2x²z + 2xz² - 3yz² + 2x²z² + y²z² - 6xz³ + yz³ + 4x²z³ + 4y²z³ + 2xz⁴ - 3yz⁴ - 5x²z⁴ - 5y²z⁴ + 4xz⁵ + 2x²z⁵ + 2y²z⁵ - xz⁶ + x²z⁷ + y²z⁷
• h = z

映射 F(x, y, z) = (f, g, h) 的雅可比行列式经计算为 −2——确实是常数非零。但 F 不是单射：存在不同的 (x, y, z) 映射到同一个像点。

这意味着雅可比猜想在 n ≥ 3 时被证伪了。

最让人倒吸一口气的是验证方式。你不需要懂代数几何，不需要读几十页的论文——你只需要大一线性代数的基础知识，就能手动算出来这个反例的雅可比矩阵的行列式确实为 −2。一位数学家在论坛上评论："这可能是数学史上最容易验证的重大反例之一。"

Fable 5 做了什么

Alpöge 不是第一个尝试用计算机找雅可比猜想反例的人。在此之前，符号计算和穷举搜索都试过，计算量太大，跑不动。Fable 5 的关键突破在于它能理解问题的"形状"——不是暴力搜索，而是先理解多项式映射的代数结构，再在结构约束下寻找满足条件的多项式系数组合。

Fable 5 的搜索策略并不依赖穷举。它先学习大量已知多项式映射的结构特征，建立对"什么类型的系数组合可能有反例价值"的先验判断，再在缩小后的候选空间中生成验证候选项。Alpöge 在博文中形容这个过程像"用一个超级聪明的实习生帮你筛掉 99% 的废纸，你只需要审阅剩下的 1%"。几天之内，Fable 5 就从海量组合中锁定了这组 216 字符的映射。

两个维度开放，一个维度关闭

反例出来后数学界迅速验证了它的正确性。目前的情况是：

• n ≥ 3：已被证伪。这个反例在 C³ 中成立，可以自然推广到更高维度。
• n = 2：仍然开放。数学家们现在紧急研究这个反例的构造方法能否用于二维情况，或者反过来证明二维是安全的。

目前该结果处于预印本阶段，尚未经过正式同行评审。但考虑到验证的简单性——几个代数计算就能确认——几乎不可能出错。

菲尔兹奖最后颁给人类？

剑桥大学数学教授 Timothy Gowers 曾在采访中说过一句话："2030 年的菲尔兹奖可能是最后一次颁给人类。"意思是 AI 参与的数学发现越来越多，2026 年的今天这句话听起来更像预言而非比喻。Alpöge 本人也大方地承认了 Fable 5 的作用，在论文中将 Fable 5 列为共同贡献者。

但这个故事比"AI 解决了数学难题"更复杂。实际过程是：Alpöge 告诉了 Fable 5 该找什么；Fable 5 在搜索空间里找到了候选；Alpöge 从候选里挑出了正确的那一组。"最后一个判断——这是不是正确的反例——还是人做的。"

张益唐与雅可比猜想

回到张益唐的故事就更有宿命感了。当年莫宗坚让他做雅可比猜想，张益唐做了七年做不出来——因为需要用到莫宗坚此前论文中的结论，而莫宗坚的结论里有错误。张益唐等于在一条死路上走了七年。如果他当时有 Fable 5 这样的工具，故事的走向会不会完全不一样？

不知道。但这种对比本身就说明了这次突破的意义：不是 AI 取代了数学家，而是 AI 把数学家的时间从"在死路上走七年"变成了"在可能的路径上走几天"。

FAQ

什么是 Fable 5 雅可比反例？

Fable 5 雅可比反例是指 2026 年 7 月 Levent Alpöge 使用 Claude Fable 5 找到的一个多项式映射，它证明雅可比猜想在 n ≥ 3 时不成立。该反例仅 216 个字符，定义了 C³ → C³ 的映射，其雅可比行列式为常数 −2，但映射不是单射。

Fable 5 雅可比矩阵反例如何验证？

只需要大一水平的线性代数知识。计算映射 F 的雅可比矩阵（所有偏导数组成的矩阵），再计算其行列式，结果为常数 −2。然后检查映射的单射性，能找到不同输入映射到同一输出即可。整个过程不涉及高深数学。

雅可比猜想被推翻意味着什么？

意味着这个存在 87 年的数学猜想在三维及以上空间中被证明不成立。这对代数几何、多项式映射理论和相关领域都有深远影响，但 n = 2 的情况仍然未解决。

为什么雅可比猜想被称为民科坟场？

因为雅可比猜想表述简单（无需高深数学就能理解问题本身），多年来吸引了大量业余民间数学爱好者声称证明了它或被自己推翻。这些"证明"最终都被证实有误，因此被称为"民科坟场"。

Fable 5 在这次发现中起了什么作用？

Fable 5 负责在巨大的搜索空间中快速找出满足约束条件的多项式系数组合。它将问题空间压缩到可计算范围，几天之内生成候选反例。数学家 Alpöge 则负责指导搜索方向、验证结果并做出最终判断。

这个反例经过同行评审了吗？

目前处于预印本阶段，尚未完成正式同行评审。但由于反例验证极其简单（大一代数水平即可)，数学界普遍认为它正确无误。

总结

雅可比猜想被 Fable 5 推翻，不是因为 AI 突然有了数学直觉，而是因为 AI 把搜索空间压缩到了人类能有效处理的范围。87 年的猜想，被 216 个字符终结——这或许是 2026 年最简洁的数学突破。从张益唐的七年死路到 Alpöge 的几天搜索，工具变了，但数学的本质没变：找到正确的方向，远比用力奔跑更重要。

如果你对完整预印本感兴趣，可以关注 Levent Alpöge 后续的论文发布。想亲自体验 Fable 5 的数学推理能力？不妨给它出一道你一直卡住的问题——结果可能会让你意外。